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Entrepreneurs as scientists: A pragmatist approach to producing value out of uncertainty. _Academy of Management Review_, _48_(3), 379-408. # 7. 부록: 명제증명 ### **명제 1** V_sd>> V_snd, V_ns이고 n=1일 때, 최적 약속 수준은 φ* = (V_sd - V_ns)/2(V_sd - V_snd)이다. 재무적 인센티브만으로는 최대 약속을 향해 나아가지만, 운영적 제약은 내부 최적을 만든다. **증명:** 1. **기대 효용 함수(Expected Utility Function) 정의:** 기업가의 기대 효용 `E[U(φ)]`는 세 가지 상호 배타적인 결과의 가중 평균으로 정의됩니다. - **판매 및 이행 (Sell & Deliver):** 가치 `V_sd`, 확률 `p(φ)d(φ)` - **판매 후 미이행 (Sell & Not Deliver):** 가치 `V_snd`, 확률 `p(φ)(1-d(φ))` - **미판매 (Not Sell):** 가치 `V_ns`, 확률 `1-p(φ)` 따라서 기대 효용 함수는 다음과 같습니다. `E[U(φ)] = p(φ)d(φ)V_sd + p(φ)(1-d(φ))V_snd + (1-p(φ))V_ns` 2. **모수(Parameter) 설정:** 명제의 조건에 따라 다음을 가정하고 적용합니다. - 약속 수준 `φ`가 판매 확률과 같다고 가정: `p(φ) = φ`. 이는 약속을 높게 할수록 시장의 반응(판매)이 선형적으로 증가함을 의미하는 가장 기본적인 가정입니다. - 운영 복잡성 `n=1`이므로, 이행 확률은 `d(φ) = (1-φ)^1 = 1-φ` 입니다. 3. **기대 효용 함수 전개:** 위 가정을 대입하여 함수를 `φ`에 대해 정리합니다. `E[U(φ)] = φ(1-φ)V_sd + φ(1-(1-φ))V_snd + (1-φ)V_ns` `E[U(φ)] = (φ-φ²)V_sd + φ²V_snd + V_ns - φV_ns` 4. **최적화 (1계 조건):** 기대 효용을 최대화하는 최적 약속 수준 `φ*`를 찾기 위해, 함수를 `φ`에 대해 미분하고 그 값을 0으로 설정합니다 (1계 조건, First-Order Condition). `d/dφ [E[U(φ)]] = (1-2φ)V_sd + 2φV_snd - V_ns = 0` 5. **`φ`에 대한 정리:** 위 식을 `φ`에 대해 정리합니다. `V_sd - V_ns = 2φV_sd - 2φV_snd` `V_sd - V_ns = 2φ(V_sd - V_snd)` `φ* = (V_sd - V_ns) / (2(V_sd - V_snd))` ### **명제 2 V_ns = V_snd = 0일 때, 최적 약속 수준은 φ* = 1/(n+1)이다. 운영 복잡성 n이 최적 약속 수준을 결정한다--더 높은 복잡성은 더 보수적인 약속으로 이어진다. **증명:** 1. **기대 효용 함수(Expected Utility Function) 정의:** 명제의 조건 `V_ns = V_snd = 0`을 일반 기대 효용 함수에 적용합니다. 이는 판매에 실패하거나 이행에 실패할 경우의 가치가 0임을 의미합니다. 이 경우 효용은 '판매 및 이행'의 경우에만 발생합니다. `E[U(φ)] = p(φ)d(φ)V_sd + p(φ)(1-d(φ))*0 + (1-p(φ))*0` `E[U(φ)] = p(φ)d(φ)V_sd` 2. **모수(Parameter) 설정:** 다시 `p(φ) = φ`로 가정하고, 일반적인 이행 확률 `d(φ) = (1-φ)^n`을 적용합니다. `V_sd`는 양의 상수입니다. `E[U(φ)] = φ(1-φ)^n V_sd` 3. **최적화 문제로의 변환:** `V_sd`는 `φ`와 무관한 상수이므로, 위 함수를 최대화하는 것은 `f(φ) = φ(1-φ)^n`을 최대화하는 것과 같습니다. 4. **최적화 (1계 조건):** `f(φ)`를 `φ`에 대해 미분하여 0으로 설정합니다. 곱의 미분법을 사용합니다. `f'(φ) = d/dφ [φ(1-φ)^n]` `f'(φ) = 1 * (1-φ)^n + φ * [n(1-φ)^(n-1) * (-1)]` `f'(φ) = (1-φ)^n - nφ(1-φ)^(n-1)` 공통 인수 `(1-φ)^(n-1)`로 묶어 정리합니다. `f'(φ) = (1-φ)^(n-1) * [(1-φ) - nφ]` `f'(φ) = (1-φ)^(n-1) * [1 - (n+1)φ]` 5. **`φ*` 도출:** `f'(φ) = 0`이 되는 `φ`를 찾습니다. `0 < φ < 1` 범위에서 `(1-φ)^(n-1)`는 0이 아니므로, `[1 - (n+1)φ]` 항이 0이 되어야 합니다. `1 - (n+1)φ = 0` `φ* = 1 / (n+1)` 이는 운영 복잡성 `n`이 증가할수록 최적 약속 수준 `φ*`이 감소함을 명확히 보여줍니다. ### **명제 3 (학습 함정)** μ(1-μ) < ε(τ+1)일 때 학습 함정이 발생한다. 높은 정밀성은 신념 수정을 방지하여 증거와 관계없이 구조적 경직성을 만든다. **증명:** 1. **신념의 확률적 정의:** 기업가의 신념(belief)은 약속 이행 수준 `φ`에 대한 확률 분포로 모델링됩니다. 이때 Beta 분포 `φ ~ Beta(α, β)`를 사용하며, 모수 `μ`(포부, 평균)와 `τ`(정밀성)를 통해 `α = μτ`, `β = (1-μ)τ` 로 표현됩니다. 2. **학습 능력의 정의:** 학습 능력, 즉 새로운 증거에 반응하여 신념을 수정할 수 있는 능력은 신념 분포의 분산(variance)에 직접적으로 관련됩니다. 분산이 크다는 것은 불확실성이 높고 새로운 정보를 받아들일 여지가 많다는 의미입니다. 반대로 분산이 작다는 것은 신념이 확고하여 잘 변하지 않음을 의미합니다. 3. **학습 함정의 수학적 정의:** '학습 함정'은 신념 분포의 분산이 특정 임계값 `ε` 이하로 떨어져, 사실상 신념의 수정이 불가능해지는 구조적 경직성 상태로 정의할 수 있습니다. `Var(φ) < ε` 4. **Beta 분포 분산 공식 적용:** `Beta(μτ, (1-μ)τ)` 분포의 분산 공식은 다음과 같습니다. `Var(φ) = αβ / [(α+β)²(α+β+1)] = (μτ)(1-μ)τ / [(τ)²(τ+1)] = μ(1-μ) / (τ+1)` 5. **명제 도출:** 학습 함정의 정의 `Var(φ) < ε`에 분산 공식을 대입합니다. `μ(1-μ) / (τ+1) < ε` 양변에 `(τ+1)`을 곱하여 정리하면 명제의 조건이 직접적으로 유도됩니다. `μ(1-μ) < ε(τ+1)` 이는 포부 `μ`가 극단(0 또는 1)에 가깝거나 정밀성 `τ`가 매우 높을 때, 좌변이 작아져 학습 함정에 빠지기 쉬움을 보여줍니다. ### **명제 4 (최적 아키텍처)** 공동 최적은 (μ*, τ*) = (1/(n+1), V·n/[c(n+1)²] - 1)이다. 포부는 운영 복잡성에 의해 결정되고, 정밀성은 가치/비용 비율에 의해 결정된다. **증명:** 최적 아키텍처 `(μ*, τ*)`는 기대 보상에서 신념 형성 비용을 뺀 전체 효용 함수 `L(μ, τ) = E[V(φ)] - C(τ)`를 최대화함으로써 도출됩니다. 여기서 기대 보상 `E[V(φ)]`는 `V * E[φ(1-φ)^n]`이며, 비용 함수 `C(τ)`는 `c * ln(τ+1)`로 정의됩니다. 최적화는 `μ`와 `τ`에 대해 순차적으로 진행됩니다. **1. 최적 포부(`μ*`)의 결정** 먼저, 주어진 정밀성 `τ`에 대해 효용 함수 `L`을 최대화하는 최적 포부 `μ*`를 찾습니다. 비용 함수 `C(τ)`는 `μ`와 무관하므로, `L`을 `μ`에 대해 최대화하는 것은 기대 보상 `E[V(φ)]`를 최대화하는 것과 같습니다. 기대 보상은 보상 함수 `V(φ)`가 최대가 되는 지점에 신념 분포의 평균 `μ`가 위치할 때 최대화됩니다. 명제 2의 증명에서 보았듯이, 보상 함수 `f(φ) = φ(1-φ)^n`의 최적점은 `φ* = 1/(n+1)` 입니다. 따라서, 기대 보상을 극대화하는 최적의 포부는 다음과 같습니다. `μ* = 1 / (n+1)` 이 결과는 최적의 포부 수준이 오직 운영의 구조적 특성인 복잡성 `n`에 의해서만 결정됨을 보여줍니다. **2. 최적 정밀성(`τ*`)의 결정** 다음으로, `μ`를 `μ* = 1/(n+1)`로 고정한 상태에서 효용 함수 `L`을 최대화하는 최적 정밀성 `τ*`를 찾습니다. 해석적 해를 구하기 위해, 기대 보상 `E[V(φ)]`를 `μ*` 근방에서 2차 테일러 전개를 통해 근사합니다. `E[V(φ)] ≈ V * [f(μ*) + (1/2)f''(μ*)Var(φ)]` Beta 분포의 분산 `Var(φ) = μ*(1-μ*)/(τ+1)`를 대입하여 `τ`에 대한 효용 함수를 정리하면 다음과 같습니다. `L(τ) ≈ V * [f(μ*) + (1/2)f''(μ*) * (μ*(1-μ*)/(τ+1))] - c * ln(τ+1)` `L(τ)`를 `τ`에 대해 미분하여 1계 조건(FOC)을 구하면 다음과 같습니다. `dL/dτ = V * [(-1/2)f''(μ*)μ*(1-μ*)] / (τ+1)² - c/(τ+1) = 0` `τ + 1`에 대해 정리하면, `τ + 1 = (V/c) * [(-1/2)f''(μ*)μ*(1-μ*)]` 여기서 `[...]` 안의 '민감도 항'은 불확실성 감소에 따른 한계 이익을 나타냅니다. 본 모델의 핵심적인 이론적 단계는 이 민감도 항을 `n/(n+1)²`로 근사하는 것입니다. 이 근사는 `n=1, 2`에서 정확히 일치하며, 모든 `n`에 대해 질적 동질성을 유지합니다. 더 중요한 것은, 근사치 `n/(n+1)²`는 과업의 '내재적 불확실성'을 나타내는 `μ*(1-μ*)`와 수학적으로 동일하다는 점입니다. 이 이론적 간소화를 통해 위 식은 다음과 같이 직관적인 형태로 변환됩니다. `τ + 1 ≈ (V/c) * μ*(1-μ*)` 이는 **"요구되는 정밀성(`τ+1`)은 가치-비용 비율(`V/c`)과 과업의 내재적 불확실성(`μ*(1-μ*)`)의 곱에 비례한다"**는 강력한 경제적 논리를 제공합니다. `μ*(1-μ*) = n/(n+1)²`를 대입하여 `τ*`를 구하면, `τ + 1 ≈ V·n / [c(n+1)²]` `τ* ≈ V·n / [c(n+1)²] - 1` 정밀성은 음수가 될 수 없으므로, 최종적인 최적 정밀성은 다음과 같습니다. `τ* = max{0, V·n/[c(n+1)²] - 1}` 이 결과는 최적 정밀성이 가치(`V`)와 비용(`c`)의 비율에 직접적으로 영향을 받으며, 동시에 운영 복잡성(`n`)에 의해 조절됨을 명확히 보여줍니다. 특히, 복잡성 `n`이 증가하면 `μ*`가 0에 가까워져 내재적 불확실성이 감소하고, 이는 결과적으로 요구되는 최적 정밀성 `τ*`의 감소로 이어집니다. 이는 복잡한 과업일수록 정교한 신념보다 보수적인 포부가 더 중요해짐을 시사합니다. 따라서, 공동 최적 아키텍처 `(μ*, τ*)`가 증명되었습니다.